Arhimed, poluga i Zemlja

Svi su verovatno čuli poznat Arhimedov citat: Dajte mi oslonac i dovoljno dugačku polugu i pomeriću svet. Šta mislite da li je Arhimedu nedostajo samo odgovarajući oslonac ili još nešto? Ako mislite da je ova Arhimedova rečenica tačna, grešite. Srećom, Arhimed nikada nije saznao koliko je zapravo pogrešio. Čak i da izuzmemo pitaje pravljenja dovoljno čvrste i dugačke poluge, mnogo zakona fizike, čitav Univerzum, okrenuli su se protiv njega.


Arhimed


Pre nego što objasnim zašto je Arhimed pogrešio, podsetiću vas kako radi poluga – na najjednostavniji način. Poluga nije ništa drugo nego jedna obična, dovoljno dugačka motka (ili šipka, ako vam se više sviđa) koja olakšava pomeranje teških stvari. Ona omogućava da korišćenjem relativno male sile na jednom njenom kraju, promenom rastojanja između oslonca i krajeva, dobijete višestruko veću silu na drugom kraju. Iskazano jezikom matematike ovo bi glasilo:

F1 * r1 = F2 * r2

gde su F1 i F2 – sile na krajevima poluge, a r1 i r2 – rastojanje od oslonca do tačke gde deluju odgovarajuće sile. Kada je ova jednakost ispunjena poluga se nalazi u ravnoteži, ako je jedna strana jednakosti veća, ta strana će “podići” onu drugu.

Kako je u u uslovima na Zemlji težina tela data sa F = mg, gde je m – masa tela, a g – gravitaciono ubrzanje. Ako ovo ubacimo u gornju jednačinu vidimo da tela različitih masa mogu biti u ravnoteži ako se nalaze na različitim, odgovarajućim, rastojanjima od oslonca poluge. Svima je ovo poznat princip i na osnovu tog principa funkcioniše ona vaga kojom na pojaci mere voće i povrće.

Vratimo se sada Arhimedu. Vaga i poluge koje poznajemo funkcionišu u uslovima na Zemlji, ali ako hoćemo da pomerimo Zemlju situacija sa gravitacionim poljem (koje daje predmetima težinu) je mnogo komplikovanija. Zbog jednostavnosti neću da ulazim u detalje oko razlika u gravitacionom polju i pretpostaviću da Zemlju treba pomeriti u uslovima koji vladaju na Zemlji. Dosta nelogična pretpostavka, ali uticaj na konačan ishod je yanemarljiv a pojednostavljenje problema ogromno.

Nakon prihvatanja ove pretpostavke možemo da predefinišemo problem na sledeći način: koliko treba da bude dugačka poluga kojom bi Arhimed mogao ta podigne teret koji ima masu (težinu) Zemlje, i ako bi imao odgovarajući oslonac i dovoljno dugačku polugu da li bi to mogao da uradi.


Arhimedova poluga

Masa Zemlje iznosi m1=6.000.000.000.000.000.000.000.000 kg (tj 6E+24 kg), a njen poluprečnik r1=6.500 km (tj 6,5E+6 m). Dužina ove strane poluge ne mora da iznosi ovoliko, može da bude i više i manje. AKo je dužina veća onda bi i druga strana morala da bude višestruko duža, ako je manja… pa možda bi bilo problema jer je Zemlja okrugla. Izabrao sam ovu vrednost jer sam pretpostavio da je Zemlja sfera, i da “stoji” na poluzi. Možete da promate i sa manjim i većim vrednostima, to neće mnogo uticati na konačan zaključak.

Prepostavimo da Arhimed ima masu od m2=100 kg (pretpostavljam da će Arhimed da stane na drugi kraj poluge, to je efikasnije nego da ga pritiska rukom).

Ako sada ove vrednosti ubacimo u gornju formulu i iz nje izračunamo r2, tj potrebnu dužinu poluge da bi Arhimed i teret mase Zemlje bili u ravnoteži dobijamo:

r2 = (6E+24 * 6,5E+6) / 100 = 3,9E+29 metara

odnosno, poluga bi trebala da bude dugačka “samo”:

390.000.000.000.000.000.000.000.000.000 metara

Sviđa vam se ovaj broj? Imate li ideju koliko je to stvarno veliko? Nemate? Nemam ni ja, ali ako uporedimo sa nekim rastojanjima koja, recimo, razumemo biće lakše da shvatimo. Rastojanje od Zemlje do Sunca iznosi 150.000.000.000 metara (1,5E+11), hm… to je neuporedivo manje u odnosu na neophodnu dužinu poluge. Da bi govorili o još većim rastojanjima treba nam neka praktičnija jedinica za dužinu.

Kada se govori o ovoliko velikim rastojanjima praktičnije je, umesto metra, koristiti jednu drugu jedinicu – svetlosnu godinu. Svetlosna godina je rastojanje koje pređe svetlost za godinu dana, krećući se brzinom od 300.000 km/s. Svetlosna godina iznosi (9,5E+15 m):

1 svetlosna godina = 9.500.000.000.000.000 metara

Izražena u ovim novim jedinicama dužina poluge trebala bi da bude

r2 = 41.000.000.000.000 sv. god. (4,1E+13 sv. god)


Nama najbliža zvezda nalazi se na oko 4 svetlosne godine, prečnik naše galaksije iznosi oko 100.000.000 svetlosnih godina, najbliža galaksija nalazi se na oko 2.000.0000 svetlosnih godina. Još uvek ni blizu…. pa koliko bi onda trebala da bude dugačka ta poluga?

Na žalost, niko na planeti ne može da navede primer nečega što je toliko daleko, niti će iko u skorije vreme videti bilo šta toliko udaljeno, jer…. potrebna dužina poluge veća je od celog svemira koji mi možemo da vidimo! Najdalji objekat koji teoretski možemo da vidimo nalazi se na rastojanju od oko 13 milijardi svetlosnih godina, tj. 13.000.000.000.

Mnogi su shvatili koliko je velika milijarda, a ovo je još veće… i to mnogo veće.

Pitam se kako bi Arhimed stigao do kraja takve poluge kada čak ni svetlost, koja je krenula tako davno, u vreme kada je nastao Univerzum, do danas još nije uspela da pređe toliki put.


Izvor